Cálculo Diferencial y Aplicaciones – José Heber Nieto Said

La importancia del Cálculo en el mundo actual es enorme, ya que la ciencia y la tecnología modernas sencillamente serían imposibles sin él. Las leyes de la naturaleza se expresan mediante ecuaciones que involucran funciones y sus derivadas, y el análisis de éstas ecuaciones se realiza mediante las herramientas del cálculo. Por esa razón los cursos de esta disciplina aparecen en los planes de estudio de todas las carreras científicas y técnicas.

Para la enseñanza del Cálculo existe una gran cantidad de libros de texto, materiales audiovisuales y software educativo, todo lo cual se incrementa cada año ya que su comercialización parece ser un buen negocio. También hay abundante material disponoble gratuitamente en Internet. Sin embargo los resultados alcanzados en los cursos por lo general no son satisfactorios. Un gran número de aplazados, repitientes crónicos y deserción escolar parecen ser las características constantes de estos cursos.

CONTENIDO:

1. Perspectiva histórica 1
1.1. Antecedentes 2
1.2. El nacimiento del Cálculo 5
1.3. Crecimiento y desarrollo 8
1.4. Rigor y Fundamentación 8

2. Conceptos Básicos 11
2.1. Los números reales 11
2.2. Funciones 18
2.2.1. Operaciones con funciones19
2.2.2. Extremos, crecimiento y decrecimiento de funciones 20
2.3. Límites 21
2.3.1. Límites laterales e infinitos 21
2.3.2. Operaciones con límites23
2.3.3. Asíntotas 26
2.3.4. Límites de sucesiones 27
2.4. Continuidad 28
2.4.1. Operaciones con funciones continuas 30
2.4.2. Propiedades de las funciones continuas 30
2.5. Derivadas 33
2.5.1. Derivadas laterales 34
2.5.2. Interpretación geométrica34
2.5.3. Interpretación cinemática35
2.5.4. Propiedades de las funciones derivables 36
2.5.5. Derivadas de orden superior 43
2.5.6. Infinitésimos e infinitos44
2.5.7. Fórmula de Taylor 45
2.6. Funciones convexas 48
2.7. Teorema fundamental del Cálculo51

3. Máximos y mínimos 55
3.1. Crecimiento y decrecimiento de una función 55
3.2. Extremos locales 56
3.3. Extremos globales 57
3.4. Algunos ejemplos geométricos 58
3.5. Ley de Snell 62
3.6. Extremos sin cálculo 64

4. Aplicaciones matemáticas 65
4.1. Gráficas de funciones 65
4.2. Raíces de ecuaciones 69
4.3. Longitud de arco 70
4.4. Funciones vectoriales 72
4.5. Curvas parametrizadas 73
4.5.1. Curvas regulares 75
4.5.2. Involutas y evolutas 77
4.5.3. Trayectorias de una bicicleta 80
4.5.4. Envolvente de una familia de rectas 84
4.5.5. Coordenadas polares 86
4.6. Desigualdades 89
4.6.1. Desigualdad de Jensen 90
4.6.2. Desigualdad aritmético-geométrica 90
4.6.3. Desigualdad entre medias generalizadas 91
4.6.4. Desigualdades de Young, Hölder y Minkowski 93

5. Aplicaciones físicas 96
5.1. Movimiento en un campo constante 96
5.2. Desintegración radioactiva 98
5.3. Ecuaciones diferenciales 100
5.4. Ecuación de la catenaria 105
5.5. El Teorema de Torricelli 106
5.6. La cicloide es tautócrona 108
5.7. El problema de la braquistócrona110
5.8. Las leyes de Kepler 111

6. Aplicaciones a otras ciencias 116
6.1. Modelos Ecológicos 116
6.1.1. Modelo Exponencial 116
6.1.2. Modelo logístico 117
6.1.3. Modelo predador-presa 118
6.2. Economía 120
6.2.1. Índice de precios e inflación 121
6.2.2. Precios, oferta y demanda 121

Soluciones a ejercicios seleccionados 123
Bibliografía 131
Índice alfabético 132

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